Conseils utiles

La solution des équations quadratiques

Cet article considère l'équation quadratique standard de la forme:

L'article dérive une formule pour les racines d'une équation quadratique en complétant un carré complet, avec des valeurs numériques un, b, c ne sera pas substitué.

ax 2 + bx + c = 0 2 Divisez les deux côtés de l'équation par mais.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Soustraire s / a des deux côtés de l'équation.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Divise le coefficient en x (b / a) par 2, puis quadrillez le résultat. Ajoutez le résultat aux deux côtés de l'équation.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Simplifiez l'expression en factorisant le côté gauche et en ajoutant les termes à droite (commencez par trouver le dénominateur commun).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extrayez la racine carrée de chaque côté de l'équation.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Soustraire b / 2a des deux côtés et vous obtenez la formule pour les racines de l'équation du second degré.

Discriminant

Donnons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors - c'est juste le nombre D = b 2 - 4 ac.

Cette formule doit être connue par cœur. D'où il vient est maintenant sans importance. Une autre chose est importante: par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines de l’équation quadratique. À savoir:

  1. Si D D = 0, il y a exactement une racine,
  2. Si D> 0, il y aura deux racines.

Remarque: le discriminant indique le nombre de racines et pas du tout leurs signes, comme beaucoup le croient. Regardez les exemples et vous comprendrez tout vous-même:

Défi. Combien de racines ont des équations quadratiques:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Nous écrivons les coefficients pour la première équation et trouvons le discriminant:
a = 1, b = -8, c = 12,
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Donc, le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines différentes. De même, nous analysons la deuxième équation:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4, 5, 7 = 9 - 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. La dernière équation reste:
a = 1, b = -6, c = 9,
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Le discriminant est zéro - la racine sera un.

Notez que des coefficients ont été écrits pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est ennuyeux - mais vous ne vous tromperez pas de coefficients et ne ferez pas de bêtises. Choisissez vous-même: vitesse ou qualité.

Soit dit en passant, si vous «mettez votre main dedans», vous n’aurez plus besoin d’écrire toutes les chances. Vous allez effectuer de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à le faire quelque part après avoir résolu 50-70 équations - en général, pas autant.

Les racines de l'équation quadratique

Passons maintenant à la solution. Si le discriminant est D> 0, les racines peuvent être trouvées par les formules:

La formule de base des racines de l'équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtenez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Première équation:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (−2) 2 - 4,1. (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvez les:

    La deuxième équation:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Les trouver

    Enfin, la troisième équation:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ l'équation a une racine. Vous pouvez utiliser n'importe quelle formule. Par exemple, le premier:

    Comme vous pouvez le voir dans les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et pouvez compter, il n'y aura pas de problèmes. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera: examinez la formule littéralement, notez chaque étape et supprimez très vite les erreurs.

    Équations quadratiques incomplètes

    Il se trouve que l'équation du second degré est quelque peu différente de celle donnée dans la définition. Par exemple:

    Il est facile de remarquer que l’un des termes est absent de ces équations. Ces équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standard: elles n’ont même pas besoin de prendre en compte le discriminant. Nous introduisons donc un nouveau concept:

    L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est zéro.

    Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro: b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme a x 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique: x = 0.

    Considérons les cas restants. Soit b = 0, on obtient alors une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. On la transforme légèrement:

    Solution d'une équation quadratique incomplète

    Puisque la racine carrée arithmétique n'existe que d'un nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (- c / a) ≥ 0. Conclusion:

    1. Si l'inégalité (- c / a) ≥ 0 est vraie dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus
    2. Si (- c / a) c / a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la quantité x 2 et de voir ce qui se trouve de l'autre côté du signe égal. S'il y a un nombre positif, il y aura deux racines. Si négatif, il n'y aura pas de racines du tout.

    Nous allons maintenant aborder les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici: il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme:

    Bracketing le facteur commun

    Le produit est nul quand au moins un des facteurs est nul. De là sont les racines. En conclusion, nous analysons plusieurs de ces équations:

    Défi. Résoudre des équations quadratiques:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x. (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, car le carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Exemples d'équations quadratiques

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0,25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    Pour trouver "a", "b" et "c", vous devez comparer votre équation à la forme générale de l'équation quadratique "ax 2 + bx + c = 0".

    Pratiquons la définition des coefficients a, b et c dans les équations du second degré.

    ÉquationCotes
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0,25x = 0
    • a = 1
    • b = 0,25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    Comment résoudre les équations du second degré

    Contrairement aux équations linéaires, une formule spéciale pour trouver les racines est utilisée pour résoudre des équations quadratiques.

    Pour résoudre l'équation du second degré, il vous faut:

    • réduire l'équation quadratique à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0". C’est-à-dire que seul «0» doit rester du côté droit,
    • utilisez la formule pour les racines:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Regardons un exemple d'application de la formule pour trouver les racines d'une équation du second degré. Résoudre l'équation du second degré.

    L'équation "x 2 - 3x - 4 = 0" a déjà été réduite à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0" et ne nécessite pas de simplification supplémentaire. Pour le résoudre, il suffit d’appliquer la formule pour trouver les racines de l'équation quadratique.

    Définissez les coefficients "a", "b" et "c" pour cette équation.

    ÉquationCotes
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = -4

    Substituez-les dans la formule et trouvez les racines.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Réponse: x1 = 4, x2 = −1

    Assurez-vous de mémoriser la formule pour trouver les racines.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Avec son aide, toute équation du second degré est résolue.

    Dans la formule "x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »Remplace souvent l'expression radicale
    "B 2 - 4ac" dans la lettre "D" et est appelé le discriminant. Le concept de discriminant est traité plus en détail dans la leçon «Qu'est-ce qu'un discriminant?».

    Prenons un autre exemple d'équation quadratique.

    Sous cette forme, déterminer les coefficients "a", "b" et "c" est assez difficile. Commençons par l’équation sous la forme générale "ax 2 + bx + c = 0".

    Maintenant, vous pouvez utiliser la formule pour les racines.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Réponse: x = 3

    Il y a des moments où il n'y a pas de racines dans les équations du second degré. Cette situation se produit lorsqu'un nombre négatif apparaît dans la formule sous la racine.

    Nous rappelons de la définition de la racine carrée qu’il est impossible d’extraire la racine carrée d’un nombre négatif.

    Prenons un exemple d'équation quadratique sans racines.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Réponse: il n'y a pas de racines valides.

    Nous sommes donc arrivés à une situation où un nombre négatif est sous la racine. Cela signifie qu'il n'y a pas de racines dans l'équation. Par conséquent, en réponse, nous avons écrit «Pas de vraies racines».

    Que veulent dire les mots «pas de vraie racine»? Pourquoi ne pouvez-vous pas simplement écrire «pas de racines»?

    En fait, de tels cas ont des racines, mais ils ne suivent pas le programme scolaire. Par conséquent, nous constatons qu’il n’ya pas de racines parmi les nombres réels. En d'autres termes, "il n'y a pas de vraies racines".